无理数^*****1

1. 有理数

有理数，也称作比例数（rational numbers）。 从自然数开始，定义了四则运算之后，我们拥有了比例数。比例数：

• 可以很大，大到不论你想要多大；
• 也可以很小，小到不论你想要多小。

似乎所有可以定量表示的量，都可以用一个比例数表示。你知道有什么量，不可以用一个比例数表示吗？

2. 无理数

无理数，亦称非比例数（irrational numbers）。之所以出现非比例数，是人们探索精神的结果，因为这些数字并不直观。

• 幂数里第三节，我们已证明\(\sqrt{2}\)不是一个比例数。
• 指数里第二节，自然数\(e\)， \(\lim_{m\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{m})^m\) 也不是一个比例数（虽然我们并没有在此证明）。
• 还有许许多多…

上面只列了几个非比例数的例子，所有的非比例数是什么数呢？

非比例数：

1. 不是比例数，
2. 但是可以被比例数无限接近²的数

但凡具有这两个特征的数，都是非比例数。

举一个栗子：

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)\]

其中\(\lim_{n\rightarrow\infty}\)表示\(n\)趋近于无穷大。当然，这是我们构造的一个数，这个数不是比例数，是一个非比例数，而且可以用比例数\(\left(1-\frac{1}{n}\right)\)无限接近。

当然这个看起来比较奇怪，它是一个极限，不像\(\sqrt{2}\)那样简洁。其实，这只是记号的形式不同，\(\sqrt{2}\)指代的也是一个极限，自然数\(e\)也是一个极限，只不过因为它太常见了，为了书写简便，我们用了\(e\)这个简单的记号。

类似方法，我们可以构造出无数的非比例数。当然，绝大多数构造出来的非比例数，没有特别的意义；一小部分的非比例数，却是有很大意义的（虽然他们是一个极限）。

3. 实数

实数 = 比例数 + 非比例数

有了实数之后，现实中但凡可以定量表示的一个量，都可以用一个实数表示。