1. 指数（Exponential function）
指数乍一看，与幂数一样，指代的也是一个数字多次相乘。
\[\begin{equation}\label{def_power}
a^n \triangleq \quad \stackrel{n\text{个}a\text{相乘}}
{\overbrace{a\times\cdots\times a}}
\end{equation}\]
不一样的是，指数关心\(a^n\)随着\(n\)的变化，幂数关心\(a^n\)随着
\(a\)的变化。用\(x\)表示变化的数，则指数可写成\(a^x\)，幂数可写成
\(x^n\)。
满清于1644年入山海关，自此开始统治整个中国，至1912年中华民国成立结束，
期间共有十位皇帝，依次是
- 顺治
- 康熙
- 雍正
- 乾隆
- 嘉庆
- 道光
- 咸丰
- 同治
- 光绪
- 宣统
现在，如果我想估算一下，到1912年的时候，顺治帝一共有多少第九代男性后人。同时， 我做一个简单的假设，每个皇帝（及其后代）每人都生了5个儿子。那么，我最终的估算，会是多少呢？
应该有\(5^9=1,953,125\)个第九代男性后人，这个数字接近2百万，
不知道与真实数据相差多少？一般的史料，是无法验证这个数字估计的准确性，
也许只有皇室的家谱可以给出真实的数字。
2. 利息的计算与自然数\(e\)
\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]
指数的另外一个应用，是金融里的利息计算。
假设有一家银行，客户存¥10,000元，存一年可获得利息¥500，即年利率为5%。如果客户同样存¥10,000，但只存一天，而且假定一年有365天。问该用户应该获得多少利息比较合理呢？
一种直观的结论，应该获得¥\(10000\times \frac{0.05}{365} = \frac{500}{365} \approx 1.37\) 元，对应于一年（365天）的利率5%，一天的利率为\(\frac{5}{365}\)%。
但是，有一些精明的人发现，在这样的情况下，有一种方式可以获得更多的利息：同样存
¥10,000，同样是存一年，但是，不是一次性存一年，而是，
-
第一天将¥10,000全部存进去，
-
第二天将本金和利息共 ¥\(10000\times(1+\frac{0.05}{365})\)
取出来，然后立即存进去；
-
第三天再将本金和利息共 ¥\(10000\times(1+\frac{0.05}{365})^2\)
取出来，然后立即存进去；
-
第四天再将本金和利息共 ¥\(10000\times(1+\frac{0.05}{365})^3\)
取出来，然后立即存进去；
-
继续…
-
第365天再将本金和利息共 ¥\(10000\times(1+\frac{0.05}{365})^{364}\)
取出来，然后立即存进去；
-
第366天将本金和利息共 ¥\(10000\times(1+\frac{0.05}{365})^{365}\)
取出来，刚好一年，停止存进去。
后一种存钱方式，比一次性将¥10,000存入银行一年的收益要多，为什么？
一种直接的方式是，用计算器可计算得
\[10000\times(1+\frac{0.05}{365})^{365} \approx 10512.67\]
也即，后一种方式，存¥10,000元，比一次性存一年，要多获得¥13。
同样的¥10,000，改成每半天一存，然后同样取出本金和半天的利息再存入，
如此持续存一年，会获得多少收益呢？
每半天一存，对应一年后的本金为
\[10000\times(1+\frac{0.05}{365\times 2})^{365\times 2} \approx 10512.69\]
继续这样的想法，即是自然数 \(e\) 的产生由来
\[(1+\frac{0.05}{n})^n = (1+\frac{0.05}{n})^{\frac{n}{0.05}\times 0.05} \]
其中关键的是
\[(1+\frac{0.05}{n})^{\frac{n}{0.05}} \]
即，可改写成
\[(1+\frac{1}{m})^m\]
其中 \(m = \frac{n}{0.05}\)。当 \(m\) 不断增大时，上式的取值不断接近一个数，
这个数就是自然数 \(e\)，
我们写成
\[\lim_{m\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{m})^m = e\]
自然数 \(e\) 是一个无理数，其近似值为 \(2.718281828\cdots\)
