在这之前定义的四则运算（\(+-\times\div\)），以及衍出来的幂数、指数、对数，都是针对比例数定义的，所得出的运算性质也是针对比例数的。
那么，如果将这些运算，也类似应用于非比例数，这些运算性质，是否依然成立呢？
举一例：
假设\(a=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n})\)，\(b=\lim_{m\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{m})\)，那么 \[a\times b\] 即 \[\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n})\times\lim_{m\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{m})\] 等于多少呢，或者如何去计算结果呢？
一个直观的方式是， \[\begin{align*} a\times b &=\lim_{n\rightarrow\infty,m\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n})\times(1-\frac{1}{m})\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty,m\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+\frac{1}{nm})\\ &=1 \end{align*}\]
一个具体的例子是\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}\)：
| \(\sqrt{2}\)的近似 | \(\sqrt{2}\)的近似 | 乘积 |
|---|---|---|
| 1.4 | 1.4 | 1.96 |
| 1.41 | 1.41 | 1.9881 |
| 1.414 | 1.414 | 1.999396 |
| 1.4142 | 1.4142 | 1.9999616 |
| 1.41421 | 1.41421 | 1.9999899 |
可以看出随着\(\sqrt{2}\)的近似值不断接近\(\sqrt{2}\)，近似值乘积也不断接近2（\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2=2\)）。
其实，这也是非比例数与非比例数（或比例数）之间四则运算（\(+-\times\div\)）、幂数、指数、对数等运算的定义，即用不断逼近非比例数的比例数替代进行运算，最终得到的不断逼近的值，就是相应运算的结果。
绝大多数情况下，非比例数与非比例数（或比例数）之间的运算结果，也会是一个非比例数，也即是一个比例数无限逼近的值。
可以证明的是1，比例数之间的运算法则，可以推广到非比例数，进而对所有实数适用。比如，如下表所示
| 比例数(\(a,b,m,n\))运算法则 | 实数(\(a,b,m,n\))运算法则 |
| \(a+b=b+a\) | \(a+b=b+a\) |
| \(a\times b=b\times a\) | \(a\times b=b\times a\) |
| \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) | \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) |
| \(a^m\div a^n=a^{m-n}\) | \(a^m\div a^n=a^{m-n}\) |
| \((a^m)^n=a^{m\times n}\) | \((a^m)^n=a^{m\times n}\) |
| \(a^n\times b^n=(a\times b)^n\) | \(a^n\times b^n=(a\times b)^n\) |
| \(a^n\div b^n=(a\div b)^n\) | \(a^n\div b^n=(a\div b)^n\) |
| \(\log_a(x) + \log_a(y) =\log_a(x\times y)\) | \(\log_a(x) + \log_a(y) =\log_a(x\times y)\) |
| \(\log_a(x) - \log_a(y) =\log_a(x\div y)\) | \(\log_a(x) - \log_a(y) =\log_a(x\div y)\) |
| \(n\times \log_a(x) =\log_a(x^{n})\) | \(n\times \log_a(x) =\log_a(x^{n})\) |
| \(\log_a x + \log_b y = 2\log_{ab}(x\times y)\) | \(\log_a x + \log_b y = 2\log_{ab}(x\times y)\) |
具体的证明过程，比较繁琐，需要一定深度的数学知识。↩︎
