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加减法 乘除法 幂数 指数 对数 无理数 实数

幂数、无理数(非比例数)


1. 幂数(power function)

在乘法的运算中,常出现同一数字多次相乘的情况。为了熟练处理这样的计算,幂数 被定义为 \[\begin{equation}\label{def_power} a^n \triangleq \quad \stackrel{n\text{个}a\text{相乘}} {\overbrace{a\times\cdots\times a}} \end{equation}\]

几条运算法则

\(a^m\times a^n=a^{m+n}\) 证明 »
\(a^m\div a^n=a^{m-n}\) 证明 »
\((a^m)^n=a^{m\times n}\) 证明 »
\(a^n\times b^n=(a\times b)^n\) 证明 »
\(a^n\div b^n=(a\div b)^n\) 证明 »

2. 平方(square)和开方(square root)

平方(square)

幂数中最常见的是,同一个数字相乘2次,这就是平方。

12 22 32 42 52 62 72 82 92 102
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

上面是1-10各自平方的值,更一般地是,对任意数\(a\),其平方为 \[a^2\]

任何整数的平方,仍然是整数;

任何比例数的平方,仍然是比例数;

开方(square root)

平方的思路是,从一个已知数出发,计算其平方值。开方的思路相反,已知平方值, 计算被平方的数。

开方 \(x\) 开方 \(x\)
x2=1 1 x2=2 ?
x2=4 2 x2=3 ?
x2=9 3 x2=5 ?
x2=16 4 x2=6 ?
x2=25 5 x2=7 ?
x2=36 6 x2=8 ?
x2=49 7 x2=10 ?
x2=64 8 x2=11 ?
x2=81 9 x2=12 ?
x2=100 10 x2=13 ?

上表中,第一列的开方很容易,x有确切的值;第三列的开方却不容易,我们不知道 x确切的值。为了便于书写开方后的值,我们引入下面的记号: \[\sqrt{a}\] 所以,上表可以写成:

开方 \(x\) 开方 \(x\)
x2=1 \(\sqrt{1}\) x2=2 \(\sqrt{2}\)
x2=4 \(\sqrt{4}\) x2=3 \(\sqrt{3}\)
x2=9 \(\sqrt{9}\) x2=5 \(\sqrt{5}\)
x2=16 \(\sqrt{16}\) x2=6 \(\sqrt{6}\)
x2=25 \(\sqrt{25}\) x2=7 \(\sqrt{7}\)
x2=36 \(\sqrt{36}\) x2=8 \(\sqrt{8}\)
x2=49 \(\sqrt{49}\) x2=10 \(\sqrt{10}\)
x2=64 \(\sqrt{64}\) x2=11 \(\sqrt{11}\)
x2=81 \(\sqrt{81}\) x2=12 \(\sqrt{12}\)
x2=100 \(\sqrt{100}\) x2=13 \(\sqrt{13}\)

任何整数的开方,不一定还是整数;

任何比例数的开方,不一定还是比例数。


3. \(\sqrt{2}\)到底是多少呢?

假设存在整数n和m,使得 \[\sqrt{2} = \frac{n}{m}\]\(\frac{n}{m}\) 不可约。那么,有如下推导 \[\begin{align*} \sqrt{2} &= \frac{n}{m} \\ 2 &= \frac{n^2}{m^2} \\ 2m^2 &= n^2 \end{align*}\] 因为\(2m^2\)是偶数,也即\(n^2\)是偶数,从而n也是偶数(偶数的平方是 偶数,奇数的平方是奇数)。从而n可以写成 \[n = 2k\] 其中k是另外一个整数,从而 \[\begin{align*} 2m^2 &= (2k)^2 \\ 2m^2 &= 4k^2 \\ m^2 &= 2k^2 \end{align*}\] 从而m也是一个偶数。综合得,n和m都是偶数,然而,这与我们的起点——假设 \(\frac{n}{m}\)不可约相矛盾!所以,我们的出发点是不对的,也即 \[\sqrt{2}\text{ 不能表示成 } \frac{n}{m} \]

通过变化n和m,n/m可以任意大,也可以任意小,但是却不能表示\(\sqrt{2}\)

?

\(\sqrt{2}\)到底是多少呢?


4. 非比例数(irrational number)

非比例数,也即一般所说的无理数。

虽然,比例数可以任意大,也可以任意小,但是,就是表示不了\(\sqrt{2}\)! 那么,数字应该是什么呢?

数数的时候,{1,2,3,4···},大家基本一致认为,这样的整数是合理的、与现实生活经验一致、理所当然的,比如,1个人、2个人、3个人等等,如此下去。

数字从经验出发,却舍弃经验,逐渐抽象化、虚构化,成为一种理论。

其实,如果严格按经验标准(要么有现实对应,要么现实可以做到),\(\frac{1}{3}\)是个不存在的数,因为现有的手段无法做到,将1平均等分成3份,尽管,可以 将3等分成3份。但是,我们还是心安理得地,接纳了\(\frac{1}{3}\)这样的比例数。 这也意味着,大家放弃了经验标准,超脱了现实世界,构造了自己想要的数字,形成 了数字理论。

\(\sqrt{2}\)在超脱现实世界方面,走的更远一点。\(\sqrt{2}\)只是一个简洁的 记号,实际指代满足下面等式的x: \[x^2 = 2\] 我们从整数里找不到这样的x,从比例数中也找不到x。就像,\(\frac{1}{3}\)也只 是一个记号,实际指代满足下式的x: \[x\times3=1\] 我们从整数里找不到这样的x,于是“虚构”出比例数\(\frac{1}{3}\),其他的比例 数类推。对于\(\sqrt{2}\)这样的情况,于是我们也“虚构”出非比例数\(\sqrt{2}\) ,其他非比例数类推。

到目前为止,我们引入如下几类数字:

  1. 整数,包括自然数、0、负的自然数;
  2. 比例数,也称为有理数;
  3. 非比例数,也称为无理数;

这些数字统称为实数,英文名称是 real number,数学符号 用\(\mathcal{R}\)表示(取real第一个单词r)。

虚数,是一种更抽象的数字,英文名称是imaginary number。就像虚数这个名字 的字面意思那样,虚数是一种虚构的数字。